仮に、私の遺産（日本にある遺産と加州の預金）の分割についての遺産分割調停（または遺産分割審判）を日本の裁判所で行った場合、アメリカの銀行は日本の裁判所の判断に応じて、預金を払い戻し日本に送金してくれますか。

これについては、明確な回答はなく実際は各銀行の判断によることになります。銀行が、口座のある外国の裁判所の判断をどこまで重んじるかという問題です。したがって、日本での遺産分割調書や審判書に基づく払い戻しが可能かどうか、事前に銀行に問い合わせることになります。

仮に回答が拒否された場合には、前項のように、遺産所在地である加州の法に基づく清算手続きが必要とされ、加州の裁判所でのプロベートの手続きを経ることが要求されることもあります。

私が日本語で、日本において作成し、日本法に基づく要件を備え、日本の家庭裁判所で*検認審判を得た遺言で指定した遺言執行人が、加州の預金の払い戻し、清算を行う場合は、その遺言書に基づいて預金の払い戻しや日本への送金をしてくれますか。

結論的には各銀行の取り扱い次第となります。 ある文献では、ニューヨーク州の預金について、日本の裁判所の遺言の検認審判書とその英訳文を提出することにより、預金の払い戻しが受けられた事例と、逆に加州の預金について、現地の遺産管理人の選任が必要となった事例が報告されています。

*検認とは家庭裁判所において、相続人に対し遺言の存在およびその内容を知らせ、遺言書の内容を明確にして遺言書の偽造・変造を防止することを目的とした手続きです。検認は、公正証書で作成した以外の遺言、つまり自筆証書遺言・秘密証書遺言の場合に必要とされる遺言の形式検査（内容には触れない）です。アメリカでは日本の検認に相当する手続はありません。